Решение:
Работа сил торможения
Тогда момент инерции J вентилятора
Угол поворота за время остановки
Работа А силы торможения
Момент сил торможения М
Ответ: 
где l – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина
где m – масса материальной точки и r – ее расстояние до оси вращения.
Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения
,
где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.
Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра
,
где R – радиус цилиндра и m – его масса.
Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра
,
Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,
.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,
.
Если для какого-либо тела известен его момент инерции J относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера
где m – масса тела и D – расстояние от центра масс тела до оси вращения.
Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением
где M – момент сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J=const, то
,
где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.
Кинетическая энергия вращающегося тела
,
где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.
Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии. Ответ: J = mR 2 .
Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Ответ: 0,12 кг·м 2 .
Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Ответ: 1) 3·10 -2 кг·м 2 ; 2) 1,75·10 -2 кг·м 2 .
Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ: В 1,07 раза.
Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска. Ответ: Т1 = 16 Дж, Т2 = 8 Дж.
Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену υ1=1,4 м/с, после удара υ’1=1 м/с. Определить выделявшееся при ударе количество теплоты Q. Ответ: Q=m(υ1 2 — υ’1 2 ) = 0,48 Дж.
Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН·м? Ответ: 2,35 рад/с 2 .
К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 H. Определить кинетическую энергию диска через время t = 4 с после начала действия силы. Ответ: 1,44 кДж.
Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг·м 2 , вращается с частотой n=20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н·м; 600.
Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + Вt 2 + Сt 3 (В = 2 рад/с 2 , С = –0,5 рад/с 3 ). Определить момент сил М для t = 3 с. Ответ: –0,1 Н·м.
Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Ответ: 1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 мН·м.
Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м 2 , вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. Ответ: 1) 62,8 Н·м; 2) 120.
Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение а центра диска. Ответ: a = 2 /3gsinα.
К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с 2 . Ответ: 24 кг.
Частота вращения no маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м 2 , составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Ответ: 16 Н·м.
Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м 2 , вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t= 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n = 240 об/мин до n1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. Ответ: 1) 0,21 рад/с 2 , 2) 0,047 Н·м; 3) 355 Дж.
Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с. Ответ: 0,259 кг·м 2 .
С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Ответ: 0,585 с.
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с 2 . Определить: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. Ответ: 1) 6,25 кг·м 2 ; 2) 50 кг.
На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м 2 , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.
Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m1= 0,35 кг и m2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T2/T1 сил натяжения нити. Ответ: 1) 1,96 м/с 2 ; 2) 1,05.
Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с, Wк = 60 Дж. Найти момент импульса L вала. Ответ: 3,8 кг·м 2 /с.
Карандаш длиной l=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: ωс= ωк=14 рад/с; υс=1,05 м/с, υк=2,1 м/с.
Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с 2 . Определить кинетическую энергию маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через t1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 60кг·м 2 /с. Ответ: 1) Ек = 75 Дж.
Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n1 = 18 мин- 1 . В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 3,5 кг·м 2 до J2 = 1 кг·м 2 . Ответ: 23 мин -1 .
Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м 2 и вращается с частотой n1 = 12 мин -1 . Определить частоту n2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: 8,5 мин -1 .
Человек массой T = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10 мин -1 , переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа. Ответ: 20 мин -1 .
Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: Возрастет в 1,43 раза.
Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин -1 , переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: 65,8 Дж.
Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. Ответ: 1,16 с.
Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. Ответ: 1,5 с.
В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.
Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.
где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.
Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.
Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.
Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.
Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:
Как в каждом векторном произведении, так и здесь
Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М?
Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу
Умножив обе части уравнения на R, получим
Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что
Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.
Единица измерения момента силы
Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м
Работа и сила во вращательном движении
Работа в линейном движении определяется общим выражением,
но во вращательном движении,
Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать
Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:
Мощность во вращательном движении:
Момент силы пример и решение задач относительно точки
Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.
а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:
M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м
б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:
M = 0
да направленная сила не может дать точке вращательное движение.
c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:
M = 0,5 r • F = 1Н • м.
Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).
Момент силы относительно оси
Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).
Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ).
Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p. Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz. Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k
После решения определителя координаты момента будут равны:
Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:
Mz = Pyxo — Pxyo
Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.
На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс символом O.
Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:
Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).
Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет:
Mx = 0,
My = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.
Метка крутящего момента:
плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.
