Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Квадрат — это частный случай прямоугольника.
Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника
1. Прямоугольник — это параллелограмм
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть ( angle A = angle C ) , ( angle B = angle D ) )
2. Противоположные стороны равны
( AB = CD,enspace BC = AD )
3. Противоположные стороны параллельны
( AB parallel CD,enspace BC parallel AD )
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
( AB perp BC,enspace BC perp CD,enspace CD perp AD,enspace AD perp AB )
5. Диагонали прямоугольника равны
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит ( AB = CD ) .
Следовательно, ( riangle ABD = riangle DCA ) по двум катетам ( ( AB = CD ) и ( AD ) — совместный).
Если обе фигуры — ( ABC ) и ( DCA ) тождественны, то и их гипотенузы ( BD ) и ( AC ) тоже тождественны.
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
( Rightarrow AB = CD ) , ( AC = BD ) по условию. ( Rightarrow riangle ABD = riangle DCA ) уже по трем сторонам.
Получается, что ( angle A = angle D ) (как углы параллелограмма). И ( angle A = angle C ) , ( angle B = angle D ) .
Выводим, что ( angle A = angle B = angle C = angle D ) . Все они по ( 90^ <circ>) . В сумме — ( 360^ <circ>) .
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
( riangle ABC = riangle ACD, enspace riangle ABD = riangle BCD )
Разделы: Математика
Тип урока: изучение нового материала.
Цель урока:
Образовательная:
- установить свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата.
- сформировать навыки исследовательской деятельности.
Развивающая: развивать познавательный интерес.
Воспитательная:
- воспитать ответственное отношение к учебе,
- воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Методы и приемы: Исследовательская работа в группах при изучении теоретического материала.
Форма организации труда: Работа по группам 3-х уровней:
Оборудование: карточки с заданиями, слайды для устной работы, плакаты с теоретическим материалом, компьютер, проектор, интерактивная доска.
Структура урока:
- Устная разминка.
- Постановка целей.
- Исследовательская работа по четырем блокам.
А. Параллелограмм.
Б. Прямоугольник.
С. Ромб.
Д. Квадрат. - Математический диктант и его проверка (первичный контроль)
- Исследовательская работа с тестом (ответы – на интерактивной доске)
- Работа по опорному конспекту.
- Информация о домашнем задании.
- Итоги урока.
Учащиеся должны знать: Определение и свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата.
Учащиеся должны уметь применять свойства параллелограмма для доказательства свойств ромба, квадрата, прямоугольника.
Изучение нового материала рассчитано на 2-3 урока для классов с углубленным изучением математики (в зависимости от уровня класса). Новый материал дается в виде блока информации.
Ход урока
1. Устная разминка 1 (по слайдам)
Цель: проверка знаний по пройденному материалу.
- Указать накрест лежащие углы (слайд №2), внутренние односторонние?
- Найти пары параллельных прямых (слайд №3)
Почему? Сформулировать признаки параллельности прямых. - Доказать равенство треугольников. (слайд №4)
- На слайде №5 изображены четырехугольники. О каких четырехугольниках можно сказать, что у них противоположные стороны попарно параллельны
Как называются эти фигуры? Ответ: а, б, в, г.
2) Постановка целей урока.
Задание. Необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей длины. Какой формы надо взять четырехугольник, чтобы огородить участок земли наибольшей длины? Какие нам известны четырехугольники?
Сегодня мы должны вывести свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата для того, чтобы ответить на данный вопрос.
Работа группами по 5 человек (всего 4 группы)
Исследование будем проводить по схеме.
Наблюдение. Гипотеза. Доказательство
3) Исследовательская работа. Каждая группа получает карточки-задания.
БЛОК А. Параллелограмм
1. Дать определение параллелограмма.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. АВ || СД, ВС || АD
2. Какие свойства параллелограмма можно определить?
Каждое свойство доказывает одна группа, представляет доказательство на интерактивной доске.
2.1. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (обязательный уровень)
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы) . Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC.
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая) .
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA.
Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.
