Расчет ачх и фчх цепи

Расчет ачх и фчх цепи

Изначально воспользуемся общей методикой определения АЧХ и ФЧХ функции:

Рис.2.4 Последовательное соединение RC ‑ цепи

Определение комплексной функции цепи (КФЦ):

Так как в лабораторной работе№4 исследуются передаточные характеристики, то будем определять КФЦ коэффициента передачи по напряжению.

Согласно определению (выражение (2.1)) коэффициент передачи – это отношение выходного напряжения ко входному:

(2.9а)

По закону Ома входное напряжение определяется:

В свою очередь, также по закону Ома, напряжение на выходе определяется напряжением на емкости, которое определяется следующим образом:

Тогда коэффициент передачи по напряжению будет иметь вид:

Приведем знаменатель к стандартному виду, т.е. избавимся от «многоэтажного» выражения.

(2.9)

Выражение (2.9) является передаточной комплексной функцией цепи

Определение выражения АЧХ:

Согласно определению и выражению (2.5) АЧХ функции – это модуль функции или отношение модулей числителя и знаменателя для комплексных выражений. Тогда из выражения (2.9) выделим модуль:

,

Таким образом, АЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.10):

, (2.10)

где R,C – параметры цепи, ω – круговая частота входного воздействия: .

Определение выражения ФЧХ:

Исходя из общего определения и математической записи (2.7) ФЧХ исследуемой цепи, определим для исследуемой схемы фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Для этого необходимо найти главный аргумент КФЦ. В соответствии с теорией комплексных выражений, аргумент выражения равен разности аргументов числителя и знаменателя. Запишем сказанное математически:

,

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.11):

. (2.11)

Для того, чтобы графически изобразить АЧХ и ФЧХ передаточной функции (или по-другому, коэффициента передачи), необходимо вместо параметров цепи подставить номиналы элементов, а вместо круговой частоты подставить соответствующие значения, при разных значениях циклической частоты, например, 0, 200Гц, 1кГц, 1.25кГц, 2,5кГц, 5кГц, 10кГц, 20 кГц.

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (ачх и фчх) на основе схемы без вывода выражений ачх и фчх

Следует отметить, что целью лабораторной работы является исследование частотных характеристик в цепях первого порядка (в составе схемы не более одной реактивности). В таких цепях невозможны экстремумы функций частотных характеристик, т.е. характер функции монотонный, а, значит, предполагаемый характер частотных характеристик может быть изображен на основе анализа схемы на крайних частотах диапазона   и  .

Исследуем схему на рис.2.4 на крайних частотах:

1) Построение АЧХ по схеме [3]:

Так как в схеме один реактивный элемент, ЧХ цепи будут монотонными функциями частоты и для их изображения достаточно знать значения ЧХ на крайних частотах диапазона   и  

Рис.2.5 — Схемы замещения исследуемой цепи

на крайних частотах диапазона

По полученным результатам построим АЧХ исследуемой цепи (рис.2.6):

Рис. 2.6- АЧХ передаточной функции исследуемой цепи

2) Построение ФЧХ коэффициента передачи:

Для построения ФЧХ непосредственно на основе схемы необходимо сохранить характер реактивного сопротивления. Поэтому эквивалентные схемы изобразим не для = 0, а для  0, не для   a для  

0 

Рис. 2.7 Схема замещения участка цепи для определения ФЧХ

В соответствии с определением коэффициента передачи по напряжению .

Следовательно, = .

Для удобства положим = 0, тогда =

Построим векторные диаграммы для схемы рисунка 2.7а и б, соответственно:

Рис. 2.8 Векторные диаграммы напряжений на граничных частотах

Исходя из рис.2.8а, разность фаз между входным и выходным напряжениями составило 0 0 , т.е.(0) = 0 o . Согласно рис.2.8 вектор. напряжения выхода отстает от вектора входного напряжения на 90 0 , а значит, ( = -90 0 . По полученным данным построим ФЧХ коэффициента передачи:

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Zвх(j), Zвх(), z(). 2. K(j), K(), k().

Решение. 1) По определению Zвх(j)=Ů1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Zвх()=[(R1+R2)²+(X1+X2)²] 1/2 ; z()=arctg[(X1+X2)/(R1+R2)].

2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Zвх(j), Zвх(), z(). 2.K(j), K(), k().

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Zвх(j)=Ů1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

Читайте также:  Рейтинг смартфонов до 17000 рублей

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения Ku(j)=Ů2m1m, а Ů2m=Z4Ĭ2– находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ2. Находим Ĭ2 методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: Nk=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I1, I2 и составим уравнения по методу контурных токов.

Z11Ĭ1+Z12Ĭ2=E11

где: Z11 – собственное сопротивление первого контура, Z11=Z1+Z2;

E22— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E22=0. Найдем I2— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U2m метод узловых потенциалов. Для этого:

преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

потенциал узла 0 примем равным нулю, =0;

тогда Ů2m=2 — = 2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно 2, по методу Крамера:

Y111+ Y122=I11

1,2 – потенциалы первого и второго узлов;

I11, I11 – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение zвх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ дляzвх(j) и построим ихграфики (рис.9), подсчитав значения при =0, =.

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

z()= -arctg , z(0)=-/2, z()=0.

Используя, определение KU(j) получим его выражение Ku(j)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z==где: тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

Отсюда следует: φк()= π/2, φк(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения. Рассчитаем ее для нашего примера:

, грRC=1  .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z()=.

,,z(0)=0 ,z()=.

Получим выражения для KU(j), KU(), k(ω).

, Ku(0)=0, Ku()=1.

Графики зависимостей KU(), k(ω) приведены на рис.1.13.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Zвх(j), ее АЧХ — Zвх() и ФЧХ — 2().

Дано: R1=1кОм R2=2кОм; R3=2кОм; C=1мкФ; L=10 -2 Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R3. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z34=jL+R3.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R2 и Z34. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z1, состоящей из последовательного соединения R1 и C и участка цепи с сопротивлением Z234. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т.к. Xс= — входное сопротивление — равно бесконечности, а при , т.к. XC=0, XL=, входное сопротивление равно R1+R2. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg .

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений Ku(j) (его АЧХ — Ku() и ФЧХ — k()) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Читайте также:  Почему ноут не видит планшет

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов nу=2, число ветвей nв=3. Отсюда число независимых контуров Nв=nу-nв+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и, как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток(=R3). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т. к. XC(), то U2m=0, т.е. Ku(0)=0. При =, XL(), а потому U2m=0, т.е. Ku()=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lg.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (nу=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U2m необходимо определить 2=U2m. Система уравнений, для нахождения 2, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где ,.

Решая эту систему относительно  2 по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Zвх(j), Zвх(), z(). 2. K(j), K(), k().

Решение. 1) По определению Zвх(j)=Ů1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Zвх()=[(R1+R2)²+(X1+X2)²] 1/2 ; z()=arctg[(X1+X2)/(R1+R2)].

2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Zвх(j), Zвх(), z(). 2.K(j), K(), k().

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Zвх(j)=Ů1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения Ku(j)=Ů2m1m, а Ů2m=Z4Ĭ2– находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ2. Находим Ĭ2 методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: Nk=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I1, I2 и составим уравнения по методу контурных токов.

Z11Ĭ1+Z12Ĭ2=E11

где: Z11 – собственное сопротивление первого контура, Z11=Z1+Z2;

E22— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E22=0. Найдем I2— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U2m метод узловых потенциалов. Для этого:

преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

потенциал узла 0 примем равным нулю, =0;

тогда Ů2m=2 — = 2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно 2, по методу Крамера:

Y111+ Y122=I11

1,2 – потенциалы первого и второго узлов;

I11, I11 – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение zвх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ дляzвх(j) и построим ихграфики (рис.9), подсчитав значения при =0, =.

Читайте также:  Формула сложных процентов в excel

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

z()= -arctg , z(0)=-/2, z()=0.

Используя, определение KU(j) получим его выражение Ku(j)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z==где: тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

Отсюда следует: φк()= π/2, φк(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения. Рассчитаем ее для нашего примера:

, грRC=1  .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z()=.

,,z(0)=0 ,z()=.

Получим выражения для KU(j), KU(), k(ω).

, Ku(0)=0, Ku()=1.

Графики зависимостей KU(), k(ω) приведены на рис.1.13.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Zвх(j), ее АЧХ — Zвх() и ФЧХ — 2().

Дано: R1=1кОм R2=2кОм; R3=2кОм; C=1мкФ; L=10 -2 Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R3. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z34=jL+R3.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R2 и Z34. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z1, состоящей из последовательного соединения R1 и C и участка цепи с сопротивлением Z234. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т.к. Xс= — входное сопротивление — равно бесконечности, а при , т.к. XC=0, XL=, входное сопротивление равно R1+R2. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg .

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений Ku(j) (его АЧХ — Ku() и ФЧХ — k()) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов nу=2, число ветвей nв=3. Отсюда число независимых контуров Nв=nу-nв+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и, как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток(=R3). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т. к. XC(), то U2m=0, т.е. Ku(0)=0. При =, XL(), а потому U2m=0, т.е. Ku()=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lg.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (nу=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U2m необходимо определить 2=U2m. Система уравнений, для нахождения 2, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где ,.

Решая эту систему относительно  2 по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.

Ссылка на основную публикацию
Пропадает цифровой сигнал тв антенны
Низкое качество цифрового телевидения для большинства россиян – одна из самых актуальных проблем, ведь аналоговое ТВ отключили и теперь только...
Проблемы с браузером гугл хром
Google Chrome занимает лидирующие позиции в списки популярных браузеров. Он известен как самый быстрый, удобный и практичный интернет-серфер. Но даже...
Проблемы с виндовс 10 после обновления
На данный момент существует три различных проблемы, с которыми сталкиваются пользователи Windows 10 при установке обновлений. Во-первых, это ошибка загрузки...
Пропал skype что делать
Вопросы и ответы в сфере it технологий и настройке ПК Из всех программ, используемых для голосового общения и конференций, Skype...
Adblock detector