Расчет ачх и фчх цепи

Изначально воспользуемся общей методикой определения АЧХ и ФЧХ функции:

Рис.2.4 Последовательное соединение RC ‑ цепи

Определение комплексной функции цепи (КФЦ):

Так как в лабораторной работе№4 исследуются передаточные характеристики, то будем определять КФЦ коэффициента передачи по напряжению.

Согласно определению (выражение (2.1)) коэффициент передачи – это отношение выходного напряжения ко входному:

(2.9а)

По закону Ома входное напряжение определяется:

В свою очередь, также по закону Ома, напряжение на выходе определяется напряжением на емкости, которое определяется следующим образом:

Тогда коэффициент передачи по напряжению будет иметь вид:

Приведем знаменатель к стандартному виду, т.е. избавимся от «многоэтажного» выражения.

(2.9)

Выражение (2.9) является передаточной комплексной функцией цепи

Определение выражения АЧХ:

Согласно определению и выражению (2.5) АЧХ функции – это модуль функции или отношение модулей числителя и знаменателя для комплексных выражений. Тогда из выражения (2.9) выделим модуль:

,

Таким образом, АЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.10):

, (2.10)

где R,C – параметры цепи, ω – круговая частота входного воздействия: .

Определение выражения ФЧХ:

Исходя из общего определения и математической записи (2.7) ФЧХ исследуемой цепи, определим для исследуемой схемы фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Для этого необходимо найти главный аргумент КФЦ. В соответствии с теорией комплексных выражений, аргумент выражения равен разности аргументов числителя и знаменателя. Запишем сказанное математически:

,

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи имеет вид (2.11):

. (2.11)

Для того, чтобы графически изобразить АЧХ и ФЧХ передаточной функции (или по-другому, коэффициента передачи), необходимо вместо параметров цепи подставить номиналы элементов, а вместо круговой частоты подставить соответствующие значения, при разных значениях циклической частоты, например, 0, 200Гц, 1кГц, 1.25кГц, 2,5кГц, 5кГц, 10кГц, 20 кГц.

2.4 Определение характера частотных характеристик цепи (ачх и фчх) на основе схемы без вывода выражений ачх и фчх

Следует отметить, что целью лабораторной работы является исследование частотных характеристик в цепях первого порядка (в составе схемы не более одной реактивности). В таких цепях невозможны экстремумы функций частотных характеристик, т.е. характер функции монотонный, а, значит, предполагаемый характер частотных характеристик может быть изображен на основе анализа схемы на крайних частотах диапазона    и   .

Исследуем схему на рис.2.4 на крайних частотах:

1) Построение АЧХ по схеме [3]:

Так как в схеме один реактивный элемент, ЧХ цепи будут монотонными функциями частоты и для их изображения достаточно знать значения ЧХ на крайних частотах диапазона    и   

Рис.2.5 — Схемы замещения исследуемой цепи

на крайних частотах диапазона

По полученным результатам построим АЧХ исследуемой цепи (рис.2.6):

Рис. 2.6- АЧХ передаточной функции исследуемой цепи

2) Построение ФЧХ коэффициента передачи:

Для построения ФЧХ непосредственно на основе схемы необходимо сохранить характер реактивного сопротивления. Поэтому эквивалентные схемы изобразим не для  = 0, а для   0, не для    a для   

0 

Рис. 2.7 Схема замещения участка цепи для определения ФЧХ

В соответствии с определением коэффициента передачи по напряжению _.

Следовательно, = .

Для удобства положим = 0, тогда =

Построим векторные диаграммы для схемы рисунка 2.7а и б, соответственно:

Рис. 2.8 Векторные диаграммы напряжений на граничных частотах

Исходя из рис.2.8а, разность фаз между входным и выходным напряжениями составило 0 0 , т.е.(0) = 0 o . Согласно рис.2.8 вектор. напряжения выхода отстает от вектора входного напряжения на 90 0 , а значит, ( = -90 0 . По полученным данным построим ФЧХ коэффициента передачи:

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2. K(j), K(), _k().

Решение. 1) По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх()=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²] 1/2 ; _z()=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2.K(j), K(), _k().

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m, а Ů_2m=Z₄Ĭ₂– находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ₂. Находим Ĭ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I₁, I₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z₁₁Ĭ₁+Z₁₂Ĭ₂=E₁₁

где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂;

E₂₂— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E₂₂=0. Найдем I₂— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

потенциал узла 0 примем равным нулю, =0;

тогда Ů_2m=₂ — = _2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно ₂, по методу Крамера:

Y₁₁₁+ Y₁₂₂=I₁₁

_1, ₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение z_вх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ дляz_вх(j) и построим ихграфики (рис.9), подсчитав значения при =0, =.

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

_z()= -arctg , _z(0)=-/2, _z()=0.

Используя, определение K_U(j) получим его выражение K_u(j)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z==где: тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

Отсюда следует: φ_к()= π/2, φ_к(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения. Рассчитаем ее для нашего примера:

, _грRC=1  .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z()=.

,,_z(0)=0 ,_z()=.

Получим выражения для K_U(j), K_U(), _k(ω).

, K_u(0)=0, K_u()=1.

Графики зависимостей K_U(), _k(ω) приведены на рис.1.13.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Z_вх(j), ее АЧХ — Z_вх() и ФЧХ — ₂().

Дано: R₁=1кОм R₂=2кОм; R₃=2кОм; C=1мкФ; L=10 -2 Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R₃. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z₃₄=jL+R₃.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R₂ и Z₃₄. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z₁, состоящей из последовательного соединения R₁ и C и участка цепи с сопротивлением Z₂₃₄. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т.к. X_с= — входное сопротивление — равно бесконечности, а при , т.к. X_C=0, X_L=, входное сопротивление равно R₁+R₂. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg .

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений K_u(j) (его АЧХ — K_u() и ФЧХ — _k()) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов n_у=2, число ветвей n_в=3. Отсюда число независимых контуров N_в=n_у-n_в+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и, как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток(=R₃). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т. к. X_C(), то U_2m=0, т.е. K_u(0)=0. При =, X_L(), а потому U_2m=0, т.е. K_u()=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lg.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (n_у=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U_2m необходимо определить ₂=U_2m. Система уравнений, для нахождения ₂, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где ,.

Решая эту систему относительно  ₂ по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2. K(j), K(), _k().

Решение. 1) По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх()=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²] 1/2 ; _z()=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2.K(j), K(), _k().

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(j)=Ů_1m/.Входное сопротивление находимметодом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m, а Ů_2m=Z₄Ĭ₂– находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ₂. Находим Ĭ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I₁, I₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z₁₁Ĭ₁+Z₁₂Ĭ₂=E₁₁

где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂;

E₂₂— алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E₂₂=0. Найдем I₂— ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

потенциал узла 0 примем равным нулю, =0;

тогда Ů_2m=₂ — = _2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно ₂, по методу Крамера:

Y₁₁₁+ Y₁₂₂=I₁₁

_1, ₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение z_вх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ дляz_вх(j) и построим ихграфики (рис.9), подсчитав значения при =0, =.

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

_z()= -arctg , _z(0)=-/2, _z()=0.

Используя, определение K_U(j) получим его выражение K_u(j)====.

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z==где: тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

Отсюда следует: φ_к()= π/2, φ_к(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения. Рассчитаем ее для нашего примера:

, _грRC=1  .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z()=.

,,_z(0)=0 ,_z()=.

Получим выражения для K_U(j), K_U(), _k(ω).

, K_u(0)=0, K_u()=1.

Графики зависимостей K_U(), _k(ω) приведены на рис.1.13.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Z_вх(j), ее АЧХ — Z_вх() и ФЧХ — ₂().

Дано: R₁=1кОм R₂=2кОм; R₃=2кОм; C=1мкФ; L=10 -2 Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R₃. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z₃₄=jL+R₃.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R₂ и Z₃₄. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z₁, состоящей из последовательного соединения R₁ и C и участка цепи с сопротивлением Z₂₃₄. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т.к. X_с= — входное сопротивление — равно бесконечности, а при , т.к. X_C=0, X_L=, входное сопротивление равно R₁+R₂. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg .

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений K_u(j) (его АЧХ — K_u() и ФЧХ — _k()) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов n_у=2, число ветвей n_в=3. Отсюда число независимых контуров N_в=n_у-n_в+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и, как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток(=R₃). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

Качественный анализ схемы показывает, что при=0, т. к. X_C(), то U_2m=0, т.е. K_u(0)=0. При =, X_L(), а потому U_2m=0, т.е. K_u()=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lg.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (n_у=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U_2m необходимо определить ₂=U_2m. Система уравнений, для нахождения ₂, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где ,.

Решая эту систему относительно  ₂ по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.