Является ли оператор оператором простой структуры

Является ли оператор оператором простой структуры

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра

2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения.

3. Мадунц А.И. Линейная алгебра

1. Пространство : n- мерный вектор, его координаты; сложение n –мерных векторов, умножение n –мер- ного вектора на число. Линейно зависимые и линейно независимые системы в : определения, свойства линейно зависимых систем. Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентные мат рицы.

2. Ранг матрицы: определение, формулировка теоремы о сохранении ранга при элементарных преобразова- ниях матрицы. Базисный минор матрицы, теорема о базисном миноре, её следствие.

3. Система линейных алгебраических уравнений, её запись в скалярной, матричной и векторной формах. Решение системы. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования системы уравнений. Теорема Крамера, пример применения.

4. Однородная система, теорема о существовании ненулевых решений, её следствие. Лемма о линейной зави- симости линейных комбинаций n-мерных векторов. Базисный минор системы, базисные и свободные не- известные.Теорема о подсистеме базисных уравнений. Теорема о существовании и единственности реше- ния с заданным набором значений свободных неизвестных, её следствие. Теорема о структуре множества решений однородной системы. ФСР системы, общее решение однородной системы, его запись в скаляр- ной, матричной и векторной формах.

5. Неоднородная система линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли. Соответствующая однородная система, теорема о структуре множества решений неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы, его запись в скалярной, матричной и векторной формах. Отыскание общего рещения системы методом Гаусса-Жордана, пример.

6. Линейное пространство (вещественное, комплексное): аксиомы, примеры. Следствия из аксиом.

Задача.На заданном множестве определены две операции; выяснить, является ли это множество линей- ным пространством.

7. Линейно зависимые системы: определение, примеры, свойства. Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций элементов пространства. Линейно независимые системы: определение, примеры.

Задача. Выяснить, является ли заданная система линейно зависимой или линeйно независимой.

8. Конечномерное линейное пространство: определение, примеры конечномерных пространств. Бесконечно- -мерные пространства, пример. Базис конечномерного пространства: определение, примеры. Теорема о существовании базиса конечномерного пространства, её следствие. Теорема о дополнении линейно неза- висимой системы до базиса. Задача.Задано линейное пространство и некоторая система его элементов; выяснить, является ли она базисом пространства.

9. Координаты вектора относительно заданного базиса, их единственность. Координатный вектор элемента линейного пространства свойства координатных векторов.

10. Матрица перехода от базиса к базису, её свойства. Преобразование координат при изменении базиса, пример.

Задачи.1) Найти координаты заданного вектора в заданном базисе. 2) Заданы две системы векторов;

Читайте также:  Как установить приложение опера

показать, что каждая из них является базисом, записать матрицу перехода от первого базиса ко второ-

му. 3) Заданы два базиса и координаты вектора хв одном из этих базисов; найти координаты х в

11. Линейное множество ( линейное подпространство): определение, примеры. Линейная оболочка системы векторов, примеры.

Задача.Задана некоторая система векторов; определить размерность её линейной оболочки и указать её базис.

12. Линейное преобразование пространства (линейный оператор): определение, примеры. Матрица линейного оператора в заданном базисе, примеры. Теорема о матричном представлении линейного оператора. Дейст- вия над линейными операторами: определения, теорема о действиях над линейными операторами и их матрицами.

Задачи. 1) Задано отображение линейного пространства в себя; выяснить, является ли оно линейным пре- образованием. 2) Записать матрицу заданного линейного оператора в указанном базисе. 3) Задана матрица оператора А в некотором базисе; известны координаты вектора х в том же базисе; найти Ах.

13. Образ и ядро линейного оператора: определения, примеры, лемма. Ранг и дефект линейного оператора, теорема о ранге и дефекте. Задачи.1) Найти образ и ядро заданного оператора. 2) Найти ранг и дефект заданного оператора. 3) Пост-роить базисы образа оператора и его ядра.

14. Невырожденный оператор: определение, свойства. Обратный оператор: определение, свойства, пример.

Задача. Задан оператор. Выяснить, существует ли обратный оператор и, если существует, найти матрицу обратного оператора в указанном базисе.

13. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы: определение, свойства, теорема о подобной матрице.

Задача.Известна матрица оператора в старом базисе; найти его матрицу в новом базисе.

14. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора: определение, примеры, свойства. Характеристический многочлен матрицы, теорема о характеристических многочленах подобных матриц. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение линейного оператора, теорема о корнях характеристического уравнения линейного оператора, её следствие. Собственное подпространство, приме- ры, геометрическая кратность собственного числа.

15. Необходимое и достаточное условие, при выполнении которого матрица оператора является диагональной. Оператор простой структуры: определение, два достаточных признака оператора простой структуры. Задачи.1) Найти собственные числа и собственные векторы заданного оператора. 2) Определить геомет- рическую кратность собственного числа и построить базис принадлежащего ему собственного подпрост- ранства. 3) Выяснить, является ли заданный оператор оператором простой структуры; если да, то постро- ить базис пространства из собственных векторов оператора и записать матрицу оператора в этом базисе.

Читайте также:  Ricoh aficio mp w3601

16. Скалярное произведение в вещественном линейном пространстве: определение, примеры. Норма элемента эвклидова пространства: определение, примеры, свойства. Ортогональные системы векторов: определение, примеры, теорема о линейной независимости ортогональной системы. Матрица Грама системы, её свойст- ва. Процесс Грама — Шмидта ортогонализации линейно независимой системы. Ортонормированные систе- мы: определение, свойства. Ортонормированные базисы: определение, примеры, свойства. Теорема о до- полнении ОНС до ОНБ Задачи.1) Построить матрицу Грама заданной системы векторов. 2) Ортогонализовать заданную линейно независимую систему. 3) Известна матрица Грама базиса пространства; найти скалярное произведение за- данных векторов. 4) Найти матрицу Грама нового базиса, зная матрицу Грама старого базиса.5) Постро- ить ОНБ пространства.

17. Ортогональное дополнение линейного подпространства: определение, примеры, свойства. Задача Найти ортогональное дополнение (найти базис ортогонального дополнения), заданного линей- ного подпространства.

18. Сопряженный оператор: определение, теорема о существовании и единственности сопряженного операто- ра, свойства.. Задача.Найти матрицу оператора, сопряженного к заданному оператору.

19. Самосопряженный оператор: определение, пример, теоремы о матрице самосопряженного оператора, о действиях над самосопряженными операторами, об ортогональности собственных векторов самосопря- женного оператора. о корнях его характеристического уравнения, её следствие.

20. Инвариантное подпространство линейного оператора: определение, пример, свойства. Теорема о сущест- вовании ОНБ из собственных векторов самосопряженного оператора, её следствие. Задачи.1)Выяснить, является ли заданный линейный оператор самосопряженным. 2)Построить ОНБ из собственных векторов самосопряженного оператора, записать матрицу оператора в этом базисе.

21. Ортогональная матрица: определение, свойства. Ортогональный оператор: определение, пример, свойства. Геометрический смысл ортогонального оператора в пространстве V2.

22. Квадратичная форма от n переменных. её матричное представление. Теорема о преобразовании матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании переменных, её следствия. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индекс инер- ции формы, её сигнатура. Классификация квадратичных форм. Теорема о классификации квадратичной формы с помощью индексов инерции. Формулировка критерия Сильвестра. Его следствие. Задачи.1) Квадратичную форму привести к каноническому виду методом Лагранжа или ортогональным преобразованием, записать итоговое преобразование переменных, приводящее форму к каноническому виду, построить канонический базис. 2) Упростить уравнение поверхности второго порядка, сделать схема- тический чертеж поверхности в исходной системе координат. 3) Классифицировать заданную квадратич- ную форму с помощью критерия Сильвестра или с помощью индексов инерции.

Читайте также:  Как войти в биос на ноуте асус

Дата добавления: 2015-09-07 ; просмотров: 874 . Нарушение авторских прав

Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица простой структуры-это матрица этого оператора, в ней по диагонали стоят собственные числа.Матрицей простой структуры называются матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду. Теорема 4.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2,…, en, отвечающих собственным значениям λ λ λn, . 1 2соответственно.

Теорема 4.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры.

Теорема 4.4. Если А-вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия Р может быть выбрана ортогональной (т.е. удовлетворяющей условию P -1 =P Т ).

Сингуля́рное разложе́ние (англ. singular value decomposition, SVD) — это разложение прямоугольной вещественной или комплексной матрицы, применяющееся во многих областях прикладной математики. Сингулярное разложение может быть использовано, например, для нахождения ранга и ядра матриц, псевдообратных матриц, приближения матриц матрицами заданного ранга. Любая матрица порядка , элементы которой — комплексные числа, может быть представлена в следующем виде, называемом сингулярным разложениемматрицы :

где — унитарная матрица порядка , — диагональная матрица порядка с неотрицательными вещественными числами на диагонали, — унитарная матрица порядка , а — сопряжённо-транспонированная матрица к .

Под диагональной прямоугольной матрицей здесь понимается матрица такая, что все её недиагональные элементы равны нулю:

если

В частном случае, когда состоит из вещественных чисел, существует сингулярное разложение вида , в котором и — ортогональные матрицы.

Элементы на диагонали матрицы называются сингулярными числами матрицы и определены с точностью до их перестановки. Обычно требуют, чтобы они располагались в матрице в невозрастающем порядке — тогда (но не и ) однозначно определяется по матрице . Столбцы матриц и называются, соответственно, левыми и правыми сингулярными векторами.

Пусть дана матрица:

Одним из сингулярных разложений этой матрицы является разложение , где матрицы , и следующие:

так как матрицы и унитарны ( и , где — единичная матрица), а — прямоугольная диагональная матрица, то есть , если .

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 1012 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Чтобы продолжить установку используйте параметр загрузки драйвера
Приветствую всех посетителей моего портала! Драйвера запоминающего устройства для установки – стандартное ПО, в использовании которого редко возникает необходимость. «Драйвер...
Что дает geforce experience
The server encountered an internal error or misconfiguration and was unable to complete your request. Please contact the server administrator...
Что дает перепрошивка смартфона
К моему большому сожалению, такой огромный пласт гик-культуры, как прошивка смартфонов, очень мало обозревается на IT-сайтах. Но бьюсь об заклад,...
Чтобы установить в системе новый язык нужно
Правильный ответ на вопрос: создать запись языка на странице «Языки», загрузить языковые файлы для данного языка через систему обновлений Другие...
Adblock detector