Формула функции распределения случайной величины

Формула функции распределения случайной величины

Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента — случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, — случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Пусть — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x = x ( w ), w W , такая, что при любом действительном x .

Событие принято записывать в виде x x , h , z , …

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= <1, 2, 3, 4, 5, 6>; во втором случае — с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества — из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F x (x) = P( x x . Здесь P( x x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

  • F
  • (x) определена на всей числовой прямой R;

  • F
  • (x) не убывает, т.е. если x1x2, то F(x1) F(x2);

  • F
  • (-)=0, F(+)=1, т.е. и ;

  • F
  • (x) непрерывна справа, т.е.

Если x — дискретная случайная величина, принимающая значения x1

Если функция распределения F x (x) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x), которая связана с функцией распределения F x (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения F x (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F x (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x), называют решение xp уравнения F x (x) = p, p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых — ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана — квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль — квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль — квантиль уровня 0.75;

децили — квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили — квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность того, что значение случайной величины F x (x) попадает в интервал (a, b), равная P(a x x (b) —F x (a), вычисляется по формулам:

— для непрерывной случайной величины и

— для дискретной случайной величины.

Если a= — , то ,

если b= , то .

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания — см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные величины. Способы задания

Ряд распределения дискретной случайной величины

$$ egin <|c|c|>hline X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \ hline p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \ hline end $$

Сумма вероятностей всегда равна 1 (условие нормировки):

Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $F(x)=P(Xlt x)$. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения $f(x)$, то функция распределения выражается как интеграл от плотности:

Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $f(x)=F'(x)$. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1):

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения

$$P(alpha lt X lt eta) = F(eta)-F(alpha).$$

2) через плотность распределения

Случайные величины. Числовые характеристики

Математическое ожидание случайной величины

1) Для дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения:

$$M(X) = sum_^ x_i cdot p_i.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$, заданной плотностью распределения:

Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент:

$$ D(X) =Mleft[ left(X-M(X)
ight)^2
ight] =M(X^2)-left(M(X)
ight)^2.$$

1) Для дискретной случайной величины $X$:

$$ D(X)= sum_^ x_i^2 cdot p_i — left(M(X)
ight)^2.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Коэффициент вариации случайной величины

Начальный момент r–го порядка случайной величины

определяется по формуле:

В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание: $
u_1=M(X^1)=M(X).$

Центральный момент r – го порядка случайной величины

определяется по формуле:

$$mu_r = Mleft[ left(X-M(X)
ight)^r
ight]$$

В частности, второй центральный момент – это дисперсия:

$$mu_2 = Mleft[ left(X-M(X)
ight)^2
ight] = D(X).$$

Асимметрия

Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Эксцесс

Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Если x — дискретная случайная величина, принимающая значения x1

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Свойства функции распределения.

1. .

Доказательство: Это утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность, а как известно,.

2.Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

16. Теорема о существовании случайной величины с заданной функцией распределения. Непрерывная случайная величина. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры.

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). различают непрерывные и дискретные случайные величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения (интегральная функция распределения) представима в виде:

где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:

Примеры распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х:

равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;

показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;

нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

17. Абсолютно непрерывная случайная величина. Плотность вероятности абсолютно непрерывной случайной величины, ее определение, свойства, и график.

Важный класс непрерывных случайных величин — абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

Определение 3.7 Случайная величина называетсяабсолютно непрерывной, если существует функция такая, что

,

,

имеет место равенство:

Функция , обладающая вышеперечисленными свойствами, называетсяплотностью распределения случайной величины .

Следствие 3.1 Если — абсолютно непрерывная случайная величина, то

Наглядный смысл плотности можно проиллюстрировать следующим рисунком.

Замечание 3.5 Если плотность непрерывна в точке, то из Следствия3.1вытекает следующее представление:

Следствие 3.2 Если — точка непрерывности функции, то

Примеры абсолютно непрерывных распределений

1) Равномерное распределение в отрезке

2) Показательное распределение с параметром

Показательное распределение называют также экспоненциальным.

3) Нормальное (или гауссовское) распределение ,,:

Стандартное нормальное распределение — :

Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

и .

И наоборот, любая интегрируемая функция , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:

.

Читайте также:  Объективы для полного кадра canon
Ссылка на основную публикацию
Форге оф импаерс великие строения
Другое название: Кузница Империй Ниже мы приводим подробный гайд по игре Forge of Empires с советами как вам быстрее отстроить...
Троттлинг процессора что это
Простой компьютерный блог для души) Всем привет. Сегодня мы затронем тему процессоров, а если быть точнее, то такое явление как...
Троянские программы и хакерские утилиты
В данную категорию входят программы, осуществляющие различные несанкционированные пользователем действия: сбор информации и ее передачу злоумышленнику, ее разрушение или злонамеренную...
Форза хорайзен 3 список машин
Серия игр Forza всегда поражала количеством доступных автомобилей. На момент выхода игры доступно уже более 150 автомобилей, а разработчики обещают...
Adblock detector