Что такое сумма квадратов чисел 5 класс

Что такое сумма квадратов чисел 5 класс

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Теперь используем данные условия:

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

  • 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  • 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
    112 2 = (100 + 12) 2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:
    112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Читайте также:  Сравнение процессоров xeon и core i7

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
    (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Читайте также:  Почему сегодня звонят колокола в церкви

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
    (a 2 − ab + b 2 )
    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

  • a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
  • (aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

Подскажите, как найти сумму квадратов чисел 364^2 + 222^2? Калькулятором пользоваться нельзя. Знаю, что разность квадратов чисел можно разложить по формуле (а-в)(а+в), а формулы для разложения суммы квадратов я не припоминаю.

К сожалению, сумму квадратов чисел разложить нельзя, не существует такой формулы. Если калькулятором пользоваться тоже нельзя, то придется перемножать в столбик)))) Каменный век, но ничего не поделаешь.

Согласен, по другому этот пример не решить. Только столбик!

а^2 + в^2 разложить нельзя. Можно только отдельно 364 и 222 представить как произведение нескольких чисел, каждое возвести в квадрат, а потом перемножить между собой. Но, это сложный процесс.

364^2+222^2=(332+32)^2+(211+11)^2 = (332-32)^2+4*332*32+(211-11)^2+4*211*11= 90000+4000+4((300+32)*32+(200+11)*11)=… дальше сами.

Можно посчитать (364+222)^2, а затем вычесть 2*364*222. Сложно, но в столбик ещё сложнее.

Ссылка на основную публикацию
Что дает geforce experience
The server encountered an internal error or misconfiguration and was unable to complete your request. Please contact the server administrator...
Форге оф импаерс великие строения
Другое название: Кузница Империй Ниже мы приводим подробный гайд по игре Forge of Empires с советами как вам быстрее отстроить...
Форза хорайзен 3 список машин
Серия игр Forza всегда поражала количеством доступных автомобилей. На момент выхода игры доступно уже более 150 автомобилей, а разработчики обещают...
Что дает перепрошивка смартфона
К моему большому сожалению, такой огромный пласт гик-культуры, как прошивка смартфонов, очень мало обозревается на IT-сайтах. Но бьюсь об заклад,...
Adblock detector